Ion Trap

量子计算机与离子阱实验

25 September 2017

杀(树)手(新)级(风)应用-Shor算法

初等数论记号

RSA公钥系统1

Alice随机产生大质数$p,q$,$N=p\cdot q$

  1. Bob发送消息$m$,使用公钥加密为$c\equiv m^e\pmod N$
  2. Alice收到密文$c$,根据Euler定理2使用私钥解密$c^d\equiv m^{e\cdot d}=m^{1+k\cdot r}=m(m^r)^k\equiv m\pmod N$

RSA例子1

$p=11,q=13,e=23,m=69$(‘E’)

大数分解

破解私钥d需要对N进行整数分解

位数$n=\log(N)$,分解算法的时间复杂度

台式机破解RSA-2048需要$6.4\times 10^{15}$年4

模阶方法

  1. 随机取$a<N$,若$\gcd(a,N)\neq 1$,则$\gcd(a,N)$是N的非平凡因子
  2. 否则求a的阶r,即$f(x)=a^x\pmod N$的周期。应有$a^r\equiv 1\pmod N$
  3. 若r为奇数,或$a^{r/2}\equiv -1\pmod N$,返回第一步
  4. 因为$N|a^r-1=(a^{r/2}-1)(a^{r/2}+1)$,$N\nmid a^{r/2}\pm 1$,所以$\gcd(a^{r/2}\pm 1,N)$都是N的非平凡因子

模阶方法例子1

量子态记号1

本征态内积$\langle 0|0\rangle=\langle 1|1\rangle=1, \langle 0|1\rangle=0$

     
量子态 复向量
测量概率 系数模方
量子门 复矩阵
态操作 矩阵乘

多量子比特

量子Fourier变换

两个q量子比特寄存器,$N^2\le Q=2^q< 2N^2$,初态:$|(0\cdots 0)_q\rangle\otimes|(0\cdots 0)_q\rangle$

  1. 并行的q个Hadamard门作用于寄存器1:$Q^{-1/2}\sum_{k=(0\cdots 0)_q}^{(1\cdots 1)_q}\lvert k\rangle\otimes\lvert 0=(0\cdots 0)_q\rangle$
  2. 模幂门$f(\lvert k\rangle\otimes\lvert 0\rangle)=\lvert k\rangle\otimes\lvert a^k\pmod N\rangle$作用于寄存器1,2:$Q^{-1/2}\sum_{k=0}^{Q-1}\lvert k\rangle\otimes\lvert a^k\pmod N\rangle$
  3. 测量寄存器2,不妨设其坍缩到$\lvert m\rangle$态:$Q^{-1/2}\sum_{k\in A_m=\lbrace k\lvert a^k\equiv m\pmod N\rbrace}\lvert k\rangle\otimes\lvert m\rangle$
  4. 设$\omega$为Q次原根,量子Fourier变换作用于寄存器1:$Q^{-1}\sum_{k\in A_m}\sum_{n=0}^{Q-1}\omega^{kn}\lvert n\rangle\otimes\lvert m\rangle$

相位估计

设a的模阶为$r$,则$A_m=\lbrace k_m+br|0\le b\le b_m=\lfloor(Q-1-k_m)/r\rfloor\rbrace$,$P_n=Q^{-2}\lvert\sum_be^{\frac{2\pi i}{Q}n(k_m+br)}\rvert^2=Q^{-2}\lvert\sum_be^{b\frac{nr}{Q}2\pi i}\rvert^2$

连分式展开

若$\frac{d}{s}$是$\frac{n}{Q}$的有理数近似,且满足$s<N,\lvert\frac{d}{s}-\frac{n}{Q}\rvert<\frac{1}{2Q}$,则有很大概率$s=r$或$s|r$

Shor算法例子1

ShorJS1

Quantum Playground1

进阶思考

量子模拟——Ising模型

铁磁性与居里点相变

经典计算方法

量子模拟方案

组成原理

量子门1

单比特量子门

Pauli矩阵1$\sigma_x=\left(\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right),\sigma_y=\left(\begin{matrix}0 & -i \\ i & 0\end{matrix}\right),\sigma_z=\left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{matrix}\right)$

偶极跃迁

电偶极跃迁$\hat{H}=-\hat{\overrightarrow{d}}\cdot \overrightarrow{E}$,磁偶极跃迁$\hat{H}=-\hat{\overrightarrow{\mu}}\cdot \overrightarrow{B}$

相互作用绘景1

Bloch球

旋转

universal gates

Pauli/Hadamard/Toffoli

Digital模拟

DiVincenzo判据

主流系统

Paul阱

电磁囚禁

Mathieu

势场求解

FEM/BEM

运动模拟

Euler/RungeKutta

背景撞击

真空系统

冷阱

Yb离子

电离

冷却

态制备

探测

激光

激光原理

二极管、ECDL

PDH稳频

气体吸收峰

Iodine 740nm

窄线宽激光

超稳腔

脉冲激光

脉冲Raman操作

电路

基尔霍夫定律

麦克斯韦->KCL/KVL

常见运放电路

PID

MOSFET/Inverter

整流器

滤波器

集成芯片(IC)

DDS/Lock-In

控制芯片

单片机/FPGA 时序发生 脉冲计数

光路

光学知识

几何光学、高斯光学

反射镜

增反膜(AR coating)

透镜

成像、像差、缩束

偏振元件

AOM/EOM